MATEMATIKA

  

GEOMETRI

SISTEM AKSIOMATIK

       Sebelum membahas masalah system aksioma,mari kenali dulu apa itu aksioma? Kemudian apa itu teorema,definisi,dan postulat?. Untuk lebih jelasnya mari kita lihat bersama – sama uraian berikut.

·         Aksioma adalah suatu pernyataan yang diterima sebagai kebenaran dan bersifat umum,tanpa memerlukan pembuktian dan merupakan dalil pemula yang dijadikan pedoman dasar.

Contoh dari aksioma yaitu :

1.    Melalui dua titik sembarang hanya dapat dibuat sebuah garis lurus.

2.    Jika sebuah garis dan sebuah bidang mempunyai dua titik persekutuan , maka garis itu seluruhnya terletak pada bidang.

3.    Melalui tiga buah titik sembarang hanya dapat dibuat sebuah bidang.

4.    Melalui sebuah titik yang berada diluar sebuah garis tertentu,hanya dapat dibuat sebuah garis yang sejajar dengan garis tertentu tersebut.

·         Teorema adalah suatu pernyataan matematika yang masih memerlukan pembuktian dan merupakan pernyataan hubungan definisi dengan definisi lainnya. Contohnya dalam geometri :

1.    Jika dua buah bidang yang berbeda beririsan ( berpotongan ) maka irisannya berupa garis.

2.    Teorema Pythagoras menyatakan hubungan ketiga sisi segitiga siku – siku.

3.    Teorema Langreng menyatakan hubungan grup dengan subgrupnya.

Untuk memahami suatu teorema dan membuat sebuah teorema baru dapat dipelajari dari asumsi – asumsi yang telah diketahui,melihat definisi dengan definisi lainnya sehingga bisa ditarik suatu teorema.

·         Definisi adalah suatu pernyataan yang dibuat dengan hanya menggunakan konsep yang tak terdefinisi atau konsep yang telah didefinisi sebelumnya. Contoh definisi didalam geometri :

1.    Titik,garis,dan bidang merupakan konsep – konsep yang tidak terdefinisi

2.    Sinar adalah himpunan bagian dari garis yang memuat yang diketahui dan semua titik pada semua sisi ( pihak ) titik yang diketahui tersebut. Titik yang diketahui adalah titik pangkal sinar.

·         Postulat adalah pernyataan yang diterima tanpa ada yang menyamakan postulat dengan aksioma,karena postulat merupakan pernyataan matematika yang disepakati benar tanpa pembuktian. Ada yang berpendapat bahwa ada harapan pada suatu saat postulat dapat dibuktikan. Contoh postulat dalam geometri,yaitu setiap garis paling sedikit berisi dua titik berbeda.

       Setelah mengetahui dan memahami istilah – istilah diatas,barulah bisa kita membahas masalah metoda – metoda yang teerdapat didalam sebuah aksioma.

       Suatu  sistem penerapan dalam matematika dari berbagai metode logika atas sekelompok unsur,relasi,dan operasi. Ada beberapa macam aksioma,yaitu :

1.    Istilah Tak Terdefinisi

Merupakan istilah dasar/primitif yang digunakan untuk membangun istilah lain anti istilahnya sendiri didefinisikan tetapi dideskripsikan.

2.    Istilah Terdefinisi

Merupakan istilah yang digunakan dalam sistem, dan dirumuskan dari istilah dasar sehingga mempunyai arti tertentu dan perumusannya menjadi pernyataan yang benar.

Sistem aksiomatik memuat himpunan yang terdiri dari istilah – istilah yang tidak didefinisikan atau primitif,dan memiliki arti yang bergantung pada interpretasi pembaca. Semua istilah selain istilah primitif didefinisikan berdasarkan istilah primitif. Istilah – istilah itu disebut definisi.

Ciri – ciri definisi yang baik, yaitu

a.    Jelas,tepat dan mempunyai makna tunggal.

b.    Hanya menggunakan istilah dasar.

c.    Konsisten dalam setiap kasus.

d.    Jangkauan luas untuk memuat sebanyak mungkin objek.

Contoh :

1.    Himpunan kosong {  } /tak terdefinisi

2.    Garis lurus  / terdefinisi

Metoda aksioma :

a.    Pembuktian tak langsung / tanpa angka

b.    Pembuktian langsung / angka

c.    Pembuktian induksi / deret dan baris

Berikut ini merupakan salah satu contoh dari sistem aksiomatik.

       Diberikan suatu sistem aksiomatik,dinamai dengan sistem aksiomatik Fe – Fo,dengan istilah – istilah primitif : “Fe – Fo “,dan relasi “termasuk pada”. Aksioma – aksiomanya adalah :

Aksioma 1.Terdapat tepat tiga Fe yang berbeda pada sistem aksioma ini.

Aksioma 2.Dua Fe yang berbeda termasuk pada tepat satu Fo.

Aksioma 3.Tidak semua Fe termasuk pada Fo yang sama.

Aksioma 4.Setiap dua Fo yang berbeda memuat paling sedikit satu Fe yang termasuk pada keduanya.

Dari aksioma – aksioma tersebut kita memiliki teorema – teorema di bawah ini.

Teorema Fe – Fo 1.Dua Fo yang berbeda memuat tepat satu Fe.

Bukti.

Aksioma 4 mengatakan bahwa setiap dua Fo yang berbeda memuat paling sedikit satu Fe. Karenanya , untuk membuktikan teorema Fe – Fo 1,kita cukup membuktikan bahwa tidak mungkin setiap dua Fo yang berbeda memuat lebih dari satu Fe. Kita akan menggunakan bukti kontradiksi. Andaikata setiap dua Fo yang berbeda memuat dua Fe. Namun pengandaian ini bertentangan  atau kontradiksi dengan aksioma 2 yang menyatakan bahwa dua Fe yang berbeda termasuk pada tepat satu Fo. Pengandaian setiap dua Fo yang berbeda memuat lebih dari dua Fe juga  akan  menimbulkan pertentangan dengan aksioma 2. Dengan demikian , dua Fo yang berbeda haruslah memuat tepat satu Fe.

Teorema Fe – Fo 2.Terdapat tepat tiga Fo.

Bukti. Aksioma 2 menyatakan setiap pasang Fe yang berbeda termasuk pada tepat satu Fo. Aksioma 1 menyatakan terdapat tepat tiga Fe yang berbeda pada sistem. Berdasarkan aksioma 1 dan 2 tersebut,maka terdapat paling sedikit tiga Fo. Untuk membuktikan teorema Fo – Fe 2,kita cukup membuktikan tidak mungkin terdapat  lebih dari tiga Fo. Kita akan menggunakan bukti kontradiksi. Andaikata terdapat empat Fo.